令 \(x = \frac{a}{b}\)，\(y = \frac{b}{c}\)，\(z = \frac{c}{a}\)。 根据题意，我们有 \(x, y, z\) 都是正实数。

我们已知条件： \[x+y+z = 5\] 同时，我们注意到这三个量的乘积： \[xyz = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} = 1\]

我们需要求解的表达式是 \(\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}\)。 这可以表示为 \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\)。 设 \(S = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\)。

由于 \(xyz=1\)，我们可以将 \(S\) 化简： \[S = \frac{yz + xz + xy}{xyz} = \frac{xy+yz+zx}{1} = xy+yz+zx\]

我们现在的问题是：已知 \(x, y, z > 0\)，\(x+y+z=5\)，\(xyz=1\)，求 \(S = xy+yz+zx\) 的取值范围。

考虑一个以 \(x, y, z\) 为根的一元三次方程： \[P(t) = (t-x)(t-y)(t-z) = 0\] 展开可得： \[t^3 - (x+y+z)t^2 + (xy+yz+zx)t - xyz = 0\] 代入已知条件 \(x+y+z=5\)，\(xyz=1\)，以及 \(xy+yz+zx=S\)，方程变为： \[t^3 - 5t^2 + St - 1 = 0\]

为了使这个三次方程有三个正实根 \(x,y,z\)，其判别式 \(\Delta_{\text{cubic}}\) 必须大于等于零。 对于三次方程 \(At^3+Bt^2+Ct+D=0\)，其判别式为 \(\Delta_{\text{cubic}} = B^2C^2 - 4AC^3 - 4B^3D - 27A^2D^2 + 18ABCD\)。 在本题中，\(A=1, B=-5, C=S, D=-1\)。 当方程有三个实根（包括重根）时，\(\Delta_{\text{cubic}} \ge 0\)。 计算可得： \[ \Delta_{\text{cubic}} = (-5)^2S^2 - 4(1)S^3 - 4(-5)^3(-1) - 27(1)^2(-1)^2 + 18(1)(-5)S(-1) \] \[ \Delta_{\text{cubic}} = 25S^2 - 4S^3 - 500 - 27 + 90S \] \[ \Delta_{\text{cubic}} = -4S^3 + 25S^2 + 90S - 527 \] 所以，我们需要 \(-4S^3 + 25S^2 + 90S - 527 \ge 0\)，即： \[ 4S^3 - 25S^2 - 90S + 527 \le 0 \]

当三个根中的两个相等时，判别式为零 (\(\Delta_{\text{cubic}}=0\))。这种情况对应于 \(S\) 的可能极值。 假设 \(x=y\)。则原条件变为：

• \(2x+z=5 \implies z = 5-2x\)
• \(x^2z=1\)

将 \(z\) 代入第二个方程：\(x^2(5-2x)=1 \implies 5x^2 - 2x^3 = 1\)，即： \[2x^3 - 5x^2 + 1 = 0\] 我们需要找到这个三次方程的正实根 \(x\)，并且满足 \(z=5-2x > 0 \implies x < 5/2\)。

通过试根，我们发现 \(x=1/2\) 是一个根： \(2(1/2)^3 - 5(1/2)^2 + 1 = 2(1/8) - 5(1/4) + 1 = 1/4 - 5/4 + 4/4 = 0\)。 所以 \(x=1/2\) 是一个解。此时 \(y=1/2\)，\(z = 5-2(1/2) = 4\)。 这组解 \((1/2, 1/2, 4)\) 满足 \(x,y,z > 0\), \(x+y+z = 1/2+1/2+4 = 5\), \(xyz = (1/2)(1/2)(4) = 1\)。 对应的 \(S\) 值为： \[S = xy+yz+zx = (1/2)(1/2) + (1/2)(4) + (4)(1/2) = 1/4 + 2 + 2 = \frac{17}{4}\]

对 \(2x^3 - 5x^2 + 1 = 0\) 进行因式分解。由于 \(x=1/2\) 是一个根，\((2x-1)\) 是一个因式： \[(2x-1)(x^2-2x-1)=0\] 其余的根来自二次方程 \(x^2-2x-1=0\)。 解这个二次方程： \[x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}\] 我们得到两个可能的 \(x\) 值：

1. \(x_1 = 1+\sqrt{2}\)。 此时 \(x_1 \approx 1+1.414 = 2.414\)。由于 \(x_1 < 5/2 = 2.5\)，这个根是有效的。 此时 \(y = 1+\sqrt{2}\)，\(z = 5 - 2(1+\sqrt{2}) = 5 - 2 - 2\sqrt{2} = 3-2\sqrt{2}\)。 注意到 \(3-2\sqrt{2} = \frac{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}{3+2\sqrt{2}} = \frac{9-8}{3+2\sqrt{2}} = \frac{1}{3+2\sqrt{2}} > 0\)。 这组解 \((1+\sqrt{2}, 1+\sqrt{2}, 3-2\sqrt{2})\) 满足所有条件。 对应的 \(S\) 值为： \begin{align*} S &= xy+yz+zx \\ &= (1+\sqrt{2})(1+\sqrt{2}) + (1+\sqrt{2})(3-2\sqrt{2}) + (3-2\sqrt{2})(1+\sqrt{2}) \\ &= (1+\sqrt{2})^2 + 2(1+\sqrt{2})(3-2\sqrt{2}) \\ &= (1+2\sqrt{2}+2) + 2(3-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}-4) \\ &= (3+2\sqrt{2}) + 2(-1+\sqrt{2}) \\ &= 3+2\sqrt{2} - 2 + 2\sqrt{2} \\ &= 1+4\sqrt{2}\end{align*}
2. \(x_2 = 1-\sqrt{2}\)。 此时 \(x_2 \approx 1-1.414 = -0.414\)。这不是正实数，所以舍去。

我们得到的两个 \(S\) 的可能极值为 \(\frac{17}{4}\) 和 \(1+4\sqrt{2}\)。 比较大小：\(\frac{17}{4} = 4.25\)。 \(1+4\sqrt{2} \approx 1+4(1.41421356) \approx 1+5.65685424 \approx 6.65685\)。

令 \(h(S) = 4S^3 - 25S^2 - 90S + 527\)。我们之前验证过，当 \(S=\frac{17}{4}\) 或 \(S=1+4\sqrt{2}\) 时，\(h(S)=0\)。 这意味着 \(\frac{17}{4}\) 和 \(1+4\sqrt{2}\) 是三次多项式 \(h(S)\) 的两个根。 三次方程 \(h(S)=0\) 的根之和为 \(-\frac{-25}{4} = \frac{25}{4}\)。 设第三个根为 \(S_3\)。 \[ \frac{17}{4} + (1+4\sqrt{2}) + S_3 = \frac{25}{4} \] \[ \frac{17}{4} + \frac{4+16\sqrt{2}}{4} + S_3 = \frac{25}{4} \] \[ \frac{21+16\sqrt{2}}{4} + S_3 = \frac{25}{4} \] \[ S_3 = \frac{25 - (21+16\sqrt{2})}{4} = \frac{4-16\sqrt{2}}{4} = 1-4\sqrt{2} \] \(1-4\sqrt{2} \approx 1-5.65685 = -4.65685\)。 所以，\(h(S)\) 的三个根按大小排序为 \(1-4\sqrt{2}\), \(\frac{17}{4}\), \(1+4\sqrt{2}\)。

我们需要满足 \(h(S) = 4(S-(1-4\sqrt{2}))(S-\frac{17}{4})(S-(1+4\sqrt{2})) \le 0\)。 由于 \(S = xy+yz+zx\) 且 \(x,y,z > 0\)，由 AM-GM 不等式，\(S = xy+yz+zx \ge 3\sqrt[3]{(xyz)^2} = 3\sqrt[3]{1^2} = 3\)。 既然 \(S \ge 3\)，那么 \(S\) 肯定是正数。 因为 \(1-4\sqrt{2}\) 是负数，而 \(S \ge 3\)，所以因子 \((S-(1-4\sqrt{2}))\) 总是正的。 因此，不等式 \(h(S) \le 0\) 化为 \((S-\frac{17}{4})(S-(1+4\sqrt{2})) \le 0\)。 这成立的条件是 \(S\) 位于 \(\frac{17}{4}\) 和 \(1+4\sqrt{2}\) 之间（包含端点）。 所以，\(S\) 的取值范围是 \([\frac{17}{4}, 1+4\sqrt{2}]\)。